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ガンベル（タイプ1）分布(Gumbel type I distribution)

分布の形状​

基本情報​

  • 2つのパラメータ α,β\alpha, \beta が必要です (どうやって求めるの？).

    β>0\beta>0

  • 無限区間 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) で定義された連続分布です。

  • 平均対して常に非対称です。

確率​

  • 累積分布関数

    F(x)=exp⁡[−exp⁡(−x−αβ)]F(x)=\exp\left[-\exp\left(-\frac{x-\alpha}{\beta}\right)\right]

  • 確率密度関数

    f(x)=1βexp⁡(−x−αβ)exp⁡[−exp⁡(−x−αβ)]f(x)=\frac{1}{\beta}\exp\left(-\frac{x-\alpha}{\beta}\right)\exp\left[-\exp\left(-\frac{x-\alpha}{\beta}\right)\right]

  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

AB
1データ説明
20.5対象となる値
38分布のパラメータ Alpha の値
42分布のパラメータ Beta の値
5数式説明（計算結果）
6=NTGUMBELDIST(A2,A3,A4,TRUE)上のデータに対する累積分布関数の値
7=NTGUMBELDIST(A2,A3,A4,FALSE)上のデータに対する確率密度関数の値

Sample distribution

分位点​

  • 累積確率関数の逆関数

    F−1(P)=α−βln⁡ln⁡1PF^{-1}(P)=\alpha-\beta\ln\ln\frac{1}{P}

  • Excel での分位点の求め方

AB
1データ説明
20.7この分布の確率
31.7分布のパラメータ Alpha の値
40.9分布のパラメータ Beta の値
5数式説明（計算結果）
6=GUMBELINV(A2,A3,A4)上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴​

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)​

  • 分布の平均 は次式で与えられます。

    α+γβ\alpha+\gamma \beta

    ここで γ\gamma は オイラーの定数です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ Alpha の値
32分布のパラメータ Beta の値
4数式説明（計算結果）
5=NTGUMBELMEAN(A2,A3)上のデータに対する分布の平均

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）​

AB
1データ説明
22分布のパラメータ B の値
3数式説明（計算結果）
4=NTGUMBELSTDEV(A2)上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)​

  • 分布の歪度 は次式で与えられます。

    −126ζ(3)π3=−1.139547099⋯-\frac{12\sqrt{6}\zeta(3)}{\pi^3}=-1.139547099\cdots

    ここで ζ(⋅)\zeta(\cdot) は リーマンのゼータ関数です。

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)​

  • 分布の尖度は 2.42.4 です。

乱数​

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

    x=α−βln⁡ln⁡1Ux=\alpha-\beta\ln\ln\frac{1}{U}

  • Excel での乱数生成法

AB
1データ説明
20.5分布のパラメータ Alpha の値
30.5分布のパラメータ Beta の値
4数式説明（計算結果）
5=NTRANDGUMBEL(100,A2,A3,0)100個のガンベル（タイプ1）乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数​

参照​