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カイ分布(Chi distribution)

分布の形状​

基本情報​

  • 1つのパラメータ NN が必要です（正の整数）。
  • 半無限区間 x≥0x \geq 0 で定義された連続分布です。
  • 平均対して常に非対称です。

確率​

AB
1データ説明
25対象となる値
39分布のパラメータ N の値
4数式説明（計算結果）
5=NTCHIDIST(A2,A3,TRUE)上のデータに対する累積分布関数の値
6=NTCHIDIST(A2,A3,FALSE)上のデータに対する確率密度関数の値

分布の特徴​

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)​

  • 分布の平均 は次式で与えられます。

    2Γ(N+12)Γ(N2)\sqrt{2}\frac{\Gamma\left(\frac{N+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}

    ここで Γ(⋅)\Gamma(\cdot) は ガンマ関数です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTCHIMEAN(A2)上のデータに対する分布の平均

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）​

  • 分布の分散 は次式で与えられます。

    N−2[Γ(N+12)Γ(N2)]2N-2\left[\frac{\Gamma\left(\frac{N+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}\right]^2

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTCHISTDEV(A2)上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)​

  • 分布の歪度は次式で与えられます。

    μ(3)−3μ(2)μ(1)+2μ3(1)σ3\frac{\mu(3)-3\mu(2)\mu(1)+2\mu^3(1)}{\sigma^3} μ(r)=2r2Γ(N+r2)Γ(N2)\mu(r)=\frac{2^{\frac{r}{2}}\Gamma\left(\frac{N+r}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}

    ここで σ\sigma は 標準偏差 で Γ(⋅)\Gamma(\cdot) は ガンマ関数です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTCHISKEW(A2)上のデータに対する分布の歪度

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)​

  • 分布の尖度 は次式で与えられます。

    μ(4)−4μ(3)μ(1)+6μ(2)μ2(1)−3μ4(1)σ4−3\frac{\mu(4)-4\mu(3)\mu(1)+6\mu(2)\mu^2(1)-3\mu^4(1)}{\sigma^4}-3 μ(r)=2r2Γ(N+r2)Γ(N2)\mu(r)=\frac{2^{\frac{r}{2}}\Gamma\left(\frac{N+r}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}

    ここで σ\sigma は 標準偏差 で Γ(⋅)\Gamma(\cdot) は ガンマ関数です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTCHIKURT(A2)上のデータに対する分布の尖度

乱数​

  • Excel での乱数生成法
AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTRANDCHI(100,A2,0)100個のカイ乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A4:A103 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数​

参照​