指数分布(Exponential distribtuion)

雑踏の中を歩く指数分布

都会の雑踏を歩いていると、1メートル進んでは人にぶつかり、3メートル進んでは人にぶつかり、となかなかスムーズに歩けないですよね（え、私だけ？）。
直感的に考えて

• 長い距離ぶつからずに歩ける確率は少ない
• 人がたくさんいると短い距離歩くだけでぶつかる

というのは理解できると思います。では、人とぶつかるタイミングはどういった分布に従うのでしょうか？

まず、雑踏をそのままモデル化するのは難しそうです。そこで簡単なモデルを考えることにします。
歩いている人間は複雑すぎるので、1本道上で人はみんな止まっていると仮定します。ある人の場所から歩いて、次の人までぶつからずに歩く。 このモデルで人と人との間隔の分布を調べてみましょう。
このモデルでもいきなり一般的な話をすると難しいから、更に簡単な状況からスタートすることにしますね。

さて、100メートルの道があります。自分の今いる場所から1メートル先の地点、そこから100個のベンチが1メートル間隔で並んでいます。そこに20人の人が座ることとします。ただし以下の条件の制約があります。

• 1つのベンチには1人しか座れない。
• 座り心地の良いベンチがあるとか、日陰と日なたにあるベンチがあるとか、嫌いな奴から離れて座りたいとか、どこかのベンチにモデル級の美女が座っていて、その周辺に何人か集まって座るとか、そういったことはありません。つまりどのベンチに座るかは「同様に確からしい」のです。

図の赤丸が人がいるベンチ、白抜きの丸が空のベンチです。

以上から、どのベンチでも人がいる確率は同様に確からしく $\frac{20}{100}=0.2$ となります。

では勇気を持って歩き出してください。

• 隣のベンチに人はいなかった
• その隣のベンチにも人はいなかった
• その隣のベンチには人がいた

この状況、つまり2メートル人と出会わなかった確率を求めてみましょう。
先ず隣のベンチに人がいない確率は

$$1-0.2$$

となります（ベンチに人がいる確率は$0.2$であることを思いだして）。 その隣にも人がいないので、ここまでの確率は

$$(1-0.2)^2$$

となります。そして次に人が出現。結局2メートル人と出会わない確率は

$$(1-0.2)^2\times0.2$$

です。
ここまで来れば、あるベンチから右側に$x$個分のベンチに人がいなくて、その次に人がいる（つまり$x$メートル人と出会わない）確率は、

$$(1-0.2)^x\times0.2$$

であることが分かります。
では次ステップに移りましょう。ベンチの数を倍にして50センチ間隔に配置してみます。ベンチの数は倍の200個、人の数は変わらず20人になるので、ベンチに人がいる確率は 0.1 となりますね。
こで$2x$個のベンチを挟んで、次のベンチに人がいる（つまり$x$メートル人と出会わない）確率は、

$$(1-0.1)^{2x}\times0.1$$

となります。
さらにベンチの間隔を半分にします。ベンチが400個、人は20人。$4x$個のベンチを挟んで、次に人がいる（つまり$x$メートル人と出会わない）確率は、

$$(1-0.05)^{4x}\times0.05$$

となります。
ここまでの様子を図に示してみます（$x=2$の場合）。

もうここまでくれば、一般化は簡単ですね。

ベンチの間隔を$\delta$としましょう。
$x$メートル人と会わない確率は、

$$\left(1-\delta\frac{n}{N}\right)^{x/\delta}\times\delta\frac{n}{N}$$

となります（ちなみにこの分布は幾何分布と呼ばれます）。一方で隣の人までの距離が$x$メートル以下である確率を $F(x)$ と書くと、隣の人ととの距離が $x$ より離れていて $(x+\delta)$ メートル以下である確率が

$$F(x+\delta)-F(x)$$

であることは分かるでしょうか？
結局、

$$F(x+\delta)-F(x)=\left(1-\delta\frac{n}{N}\right)^{x/\delta}\times\delta\frac{n}{N}$$

が得られることとなります。

ここからは微分・積分の知識が必要なんですね。両辺を$\delta$で割って、

$$\frac{F(x+\delta)-F(x)}{\delta}=\left(1-\delta\frac{n}{N}\right)^{x/\delta}\times\frac{n}{N}$$

$\delta\to 0$ の極限（つまりバラバラのベンチではなく、100メートルの長いすに自由に座る）を考えると、

$$f(x)=\frac{1}{\beta}\exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)$$

これが指数分布の確率密度分布なんです！ ここで

$$\beta=\frac{N}{n}$$

としましたが、これは平均間隔です。

平均して$\beta$メートルに1回ぶつかるとすると（イタイ）、$x$メートル歩くまでにぶつかる確率が上式$F(x)$となります。 ではこの状況下で、1メートルで平均何回人とぶつかるでしょう？答えは、パラメータ$\nu=1/\beta$とした**ポアソン分布**になるのです！（覚えてましたか？）

分布の形状

基本情報

• パラメータ $\beta$ が必要です。

  $$\beta>0$$

  このパラメータは分布の平均です。

• 半無限区間 $x \geq 0$ で定義された連続分布です。

• 平均対して常に非対称です。

確率

• 累積分布関数

  $$F(x)=1-\exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)$$

• 確率密度関数

  $$f(x)=\frac{1}{\beta}\exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)$$

• Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	対象となる値
3	8	分布のパラメータ Beta の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=1-EXP(-A2/A3)	上のデータに対する累積分布関数の値
6	=EXP(-A2/A3)/A3	上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

• 累積分布関数の逆関数

  $$F^{-1}(P)=-\beta\ln(1-P)$$

• Excel での分位点の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	この分布の確率
3	1.7	分布のパラメータ Beta の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=-A3*LN(1-A2)	上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)

• 分布の平均は $\beta$ と与えられます。

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）

• 分布の標準偏差は $\beta$ と与えられます。

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)

• 分布の歪度は $2$ です。

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)

• 分布の尖度は $6$ です。

乱数

• 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

  $$x=-\beta\ln(1-U)$$

• Excel での乱数生成法

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	分布のパラメータ Beta の値
3	数式	説明（計算結果）
4	=-A2*LN(1-NTRAND(100))	100個の指数乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A4:A103 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

• Wolfram Mathworld -- Exponential distribution
• Wikipedia -- Exponential distribution
• Statistics Online Computational Resource