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t 分布(t distribution)

分布の形状​

基本情報​

  • 1つのパラメータ NN が必要です（正の整数）。
  • 無限区間 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) で定義された連続分布です。
  • 平均対して常に対称です。

確率​

  • 確率密度関数

    f(x)=Γ(N+12)πN(1+x2N)N+1Γ(N2)f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{N+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi N\left(1+\frac{x^2}{N}\right)^{N+1}}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}

    ここで Γ(⋅)\Gamma(\cdot) は ガンマ関数です。

  • 累積分布関数

    F(x)=12−12[1−Iγ(12,N2)]sign(x)F(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[1-I_{\gamma}\left(\frac{1}{2},\frac{N}{2}\right)\right]\text{sign}(x)

    ここで γ=NN+x2\gamma=\frac{N}{N+x^2} で Ix(⋅,⋅)I_{x}(\cdot,\cdot) は 正規化された不完全ベータ関数です。

  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

AB
1データ説明
25対象となる値
39分布のパラメータ N の値
4数式説明（計算結果）
5=NTTDIST(A2,A3,TRUE)上のデータに対する累積分布関数の値
6=NTTDIST(A2,A3,FALSE)上のデータに対する確率密度関数の値

分布の特徴​

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)​

  • 分布の平均 は N>1N> 1の場合に定義され、常に00です。
  • Excel での計算法
AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTTMEAN(A2)上のデータに対する分布の平均

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）​

  • 分布の分散 は N>2N> 2の場合に定義され、次式で与えられます。

    NN−2(N>2)\frac{N}{N-2}\quad (N>2)

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTTSTDEV(A2)上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)​

  • 分布の歪度は N>3N>3の場合に定義され、常に00 です。
  • Excel での計算法
AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTTSKEW(A2)上のデータに対する分布の歪度

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)​

  • 分布の尖度　はN>4N>4の場合に定義され、次式で与えられます。

    6N−4(N>4)\frac{6}{N-4}(N>4)

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTTKURT(A2)上のデータに対する分布の尖度

乱数​

  • Excel での乱数生成法
AB
1データ説明
28分布のパラメータ N の値
3数式説明（計算結果）
4=NTRANDT(100,A2,0)100個の T 乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A4:A103 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数​

  • 既に分布のパラメータをお持ちの場合

参照​