U字型2次分布(U-quadratic distribution)

分布の形状

基本情報

• 2つのパラメータ $a, b$ が必要です.

  $$a<b$$

  これらのパラメータは分布の下限と上限を表します。

• 有限区間 $a\leq x \leq b$ で定義された連続関数

• 平均対して常に対称です。

確率

• 累積分布関数

  $$F(x)=\frac{a}{3}\left[(x-b)^3+(b-a)^3\right]$$

  ここで

  $$\alpha=\frac{12}{(b-a)^3},\beta=\frac{a+b}{2}$$

  です。

• 確率密度関数

  $$f(x)=a(x-b)^2$$

• Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	2	対象となる値
3	1	分布のパラメータ A の値
4	5	分布のパラメータ B の値
5	=12/((A4-A3)^3)	Vertical scale
6	=(A3+A4)/2	Mean of the distribution
7	数式	説明（計算結果）
8	=A5*((A2-A6)^3+(A6-A5)^3)/3	上のデータに対する累積分布関数の値
9	=A5*(A2-A6)^2	上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

• 累積分布関数の逆関数

  $$F^{-1}(P)=\left[\frac{3P}{\alpha}-(\beta-\alpha)^3\right]^{1/3}+\beta$$

  ここで

  $$\alpha=\frac{12}{(b-a)^3},\beta=\frac{a+b}{2}$$

  です。

• Excel での分位点の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	この分布の確率
3	1	分布のパラメータ A の値
4	5	分布のパラメータ B の値
5	=12/((A4-A3)^3)	Vertical scale
6	=(A3+A4)/2	Mean of the distribution
7	数式	説明（計算結果）
8	=(3*A2/A5-(A6-A5)^3)^(1/3)+A6	上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)

• 分布の平均 は次式で与えられます。

  $$\frac{a+b}{2}$$

• Excel での計算法

	A	B
1	データ	説明
2	8	分布のパラメータ A の値
3	2	分布のパラメータ B の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=(A2+A3)/2	上のデータに対する分布の平均

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）

• 分布の分散 は次式で与えられます。

  $$\frac{3}{20}(b-a)^2$$

  標準偏差 は 分散の正の平方根です。

• Excel での計算法

	A	B
1	データ	説明
2	8	分布のパラメータ A の値
3	2	分布のパラメータ B の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=SQRT(3)*(A3-A2)/(2*SQRT(5))	上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)

• 分布の歪度は $0$ と与えられます。

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)

• 分布の尖度 は次式で与えられます。

  $$\frac{3}{112}(a-b)^4$$

• Excel での計算法

	A	B
1	データ	説明
2	8	分布のパラメータ A の値
3	2	分布のパラメータ B の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=3*(A3-A2)^4/112	上のデータに対する分布の尖度

乱数

• 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

  $$x=\left[\frac{3U}{\alpha}-(\beta-\alpha)^3\right]^{1/3}+\beta$$

  ここで

  $$\alpha=\frac{12}{(b-a)^3},\beta=\frac{a+b}{2}$$

  です。

• Excel での乱数生成法

	A	B
1	データ	説明
2	1	分布のパラメータ A の値
3	5	分布のパラメータ B の値
4	=12/((A3-A2)^3)	Vertical scale
5	=(A2+A3)/2	Mean of the distribution
6	数式	説明（計算結果）
7	=(3*NTRAND(100)/A2-(A3-A2)^3)^(1/3)+A3	100個の U字型2次乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A7:A106 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

• Wikipedia -- U-quadratic distribution

• Economic

  "Job Insecurity isn't Always Efficient" by David J. Balan and Dan Hanner