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ワイブル分布(Weibull distribution)NtRand Supported

○ニータイマーの仕組みワイブル分布

信頼性工学

新しく買ったコンピューター。はやる気持ちを抑えて箱から取り出し、早速スイッチを！。。あれ？ウンともスンともいわないぞ。いきなり故障か？
うちのテレビはまだブラウン管。最近突然画面が歪んだり、スイッチが入らなかったり。。。さすがに寿命か？
毎年毎年、冬と夏に1回か2回くらいは風邪をひく。
機械（や人間）はいつ故障するのか？信頼性工学における分析では、 故障率の時間推移は、
  • 時間とともに減少する：初期不良に起因する故障
  • 時間とともに増加する：寿命
  • 時間によらず一定：偶発的な事故
に分類される。グラフにすると
こんな感じ（この形から、バスタブ曲線と呼ばれる）。

故障率をh(t) として、上記の3つの状況を1つの式で綺麗にモデル可できないかと考えてみる。一番簡単には
h(t)\propto t^{\alpha}
としてはどうだろう。\alphaが正ならば、時間とともに増加する。負ならば減少。そして0ならば時間に依存しなくなる。

故障率がこの式に従うとしたとき、この機械の時刻 t における累積故障率（つまりある時間 t までに故障する確率）がワイブル分布になるのである。

もうひとつ、ワイブル分布が表舞台に現れる理論が極値理論である。

分布の形状

基本情報

確率

Sample distribution

分位点

  • 累積確率関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\beta\left(\ln\frac{1}{1-P}\right)^{1/\alpha}
  • Excel での分位点の求め方
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    AB
    データ説明
    0.7 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ Alpha の値
    0.9 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =WEIBULLINV(A2,A3,A4) 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値
  • 関連 NtRand 関数 : NTWEIBULLINV

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

  • 分布の平均 は次式で与えられます。
    \beta\Gamma\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)
    ここで、\Gamma(\cdot) は ガンマ関数です。
  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTWEIBULLMEAN(A2,A3) 上のデータに対する分布の平均
  • 関連 NtRand 関数 : NTWEIBULLMEAN

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

  • 分布の分散 は次式で与えられます。
    \mu^\prime(2)-m^2
    ここで、
    \mu^\prime(r)=\beta^r\Gamma\left(1+\frac{r}{\alpha}\right)
    、 \Gamma(\cdot) は ガンマ関数、mは分布の平均です。

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTWEIBULLSTDEV(A2,A3) 上のデータに対する分布の標準偏差
  • 関連 NtRand 関数 : NTWEIBULLSTDEV

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

  • 分布の歪度 は次式で与えられます。
    \frac{1}{\sigma^3}\left[\mu^\prime(3)-3m\sigma^2-m^3\right]
    ここで、
    \mu^\prime(r)=\beta^r\Gamma\left(1+\frac{r}{\alpha}\right)
    、\Gamma(\cdot) は ガンマ関数、mは分布の平均、\sigma は 分布の標準偏差です。
  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTWEIBULLSKEW(A2,A3) 上のデータに対する分布の歪度
  • 関連 NtRand 関数 : NTWEIBULLSKEW

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

  • 分布の尖度 は次式で与えられます。
    \frac{\mu^\prime(4)-4\gamma_1\sigma^3m-6m^2\sigma^2-m^4}{\sigma^4}-3
    ここで、
    \mu^\prime(r)=\beta^r\Gamma\left(1+\frac{r}{\alpha}\right)
    、\Gamma(\cdot) は ガンマ関数、m は分布の平均、\sigma は分布の標準偏差、\gamma_1 は分布の歪度です。
  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTWEIBULLKURT(A2,A3) 上のデータに対する分布の尖度
  • 関連 NtRand 関数 : NTWEIBULLKURT

乱数

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :
    x=\beta\left(\ln\frac{1}{1-U}\right)^{1/\alpha}
  • Excel での乱数生成法
     
    1
    2
    3
    4
    5
       
    AB
    データ説明
    0.5 分布のパラメータ Alpha の値
    0.5 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTRANDWEIBULL(100,A2,A3,0) 100個のワイブル乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数

参照

 

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