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t 分布(t distribution)

分布の形状

基本情報

1つのパラメータ $N$ が必要です（正の整数）。
無限区間 $(-\infty, +\infty)$ で定義された連続分布です。
平均対して常に対称です。

確率

確率密度関数
$f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{N+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi N\left(1+\frac{x^2}{N}\right)^{N+1}}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}$
ここで $\Gamma(\cdot)$ はガンマ関数です。
累積分布関数
$F(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[1-I_{\gamma}\left(\frac{1}{2},\frac{N}{2}\right)\right]\text{sign}(x)$
ここで $\gamma=\frac{N}{N+x^2}$ で $I_{x}(\cdot,\cdot)$ は正規化された不完全ベータ関数です。

Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と確率密度関数 (p.d.f.)の求め方


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A	B
データ	説明
5	対象となる値
9	分布のパラメータ N の値
数式	説明（計算結果）
=NTTDIST(A2,A3,TRUE)	上のデータに対する累積分布関数の値
=NTTDIST(A2,A3,FALSE)	上のデータに対する確率密度関数の値

関連 NtRand 関数 : NTTDIST

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

分布の平均は $N> 1$ の場合に定義され、常に $0$ です。
Excel での計算法

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A B

データ説明

8 分布のパラメータ N の値

数式説明（計算結果）

=NTTMEAN(A2) 上のデータに対する分布の平均
関連 NtRand 関数 : NTTMEAN

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

分布の分散は $N&gt 2$ の場合に定義され、次式で与えられます。
$\frac{N}{N-2}\quad (N>2)$

標準偏差は分散の正の平方根です。
Excel での計算法

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A B

データ説明

8 分布のパラメータ N の値

数式説明（計算結果）

=NTTSTDEV(A2) 上のデータに対する分布の標準偏差
関連 NtRand 関数 : NTTSTDEV

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

分布の歪度は $N>3$ の場合に定義され、常に $0$ です。
Excel での計算法

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A B

データ説明

8 分布のパラメータ N の値

数式説明（計算結果）

=NTTSKEW(A2) 上のデータに対する分布の歪度
関連 NtRand 関数 : NTTSKEW

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

分布の尖度　は $N>4$ の場合に定義され、次式で与えられます。
$\frac{6}{N-4}\;(N>4)$
Excel での計算法

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A B

データ説明

8 分布のパラメータ N の値

数式説明（計算結果）

=NTTKURT(A2) 上のデータに対する分布の尖度
関連 NtRand 関数 : NTTKURT

乱数

Excel での乱数生成法


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A	B
データ	説明
8	分布のパラメータ N の値
数式	説明（計算結果）
=NTRANDT(100,A2,0)	100個の T 乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します

メモ：この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A4:A103 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数

既に分布のパラメータをお持ちの場合
- Mersenne Twiseter 法による乱数生成 : NTRANDT
- 確率計算 : NTTDIST
- 平均計算 : NTTMEAN
- 標準偏差計算 : NTTSTDEV
- 歪度計算 : NTTSKEW
- 尖度計算 : NTTKURT
- 上記の各モーメントを一度に計算 : NTTMOM

参照

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