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正規分布（単変量）(Normal distribution)NtRand Supported

あの鐘を鳴らすのは正規分布

ベル=カーブ

正規分布（英名 “Normal distribution”）は確率・統計で間違いなく最も重要な分布です。実際これを知らないと何もできない程！19世紀最大の科学者カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことから、ガウス分布とも呼ばれています（彼の故郷、ドイツの旧10マルク紙幣にはガウスの自身と正規分布の形が描かれていました）。

先ずは正規分布の確率密度関数の形を見てみましょう。
Normal Distribution
  • 左右対称
  • 中心部分が一番高く、中心から離れれば離れるほど急速に減少していく
  • （見ただけでは分からないけど）実はグラフは永遠に伸びていて、水平軸に接することはない。
均整のとれたこの形は古き良き時代の鐘を想起させることから「ベル＝カーブ」という愛称も持っています。

分布の特徴

正規分布の形状はなんとたった2つの情報で決まってしまいます。
  • 分布の位置を決める 平均。通常 m と表記されることが多い。
  • 分布の広がりを決める 標準偏差。通常 \sigma（ギリシャ文字の”シグマ”）と表記されることが多い。
下の図のように、mは分布の山頂の位置に一致し、\sigmaは分布のウエストのあたりに一致します。 ここで青い三角形（）を左右に動かして m を、緑の矢印（）を動かして \sigma を増減させ、分布がどのように変化するかを確認してみよう。
さて、どうでしょうか？
m を変化させると、分布は左右に形を変えないまま移動し、\sigma が増加すると分布はだらしなく広がり、\sigma が小さくなると分布はスリムになりますね。
ちなみに m=0、\sigma=1 の場合、この分布には「標準正規分布」という特別な名前が与えられています。

数式を少々（我慢我慢）

とにかく重要でどこにでも顔を出す分布なので、ここはひとつ数式を見てみましょう。他でもしょっちゅう出てくるものばかりで、きっと試験にも出ます。どうにか我慢してお付き合いください。
  • 確率密度関数
    上でみたベル=カーブを描き出す関数は、
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]
    と与えられます。ここでm=0、\sigma=1としてみると（つまり標準正規分布）、
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)
    となります。この関数は \phi(x) （ギリシャ文字の “ファイ” の小文字）と表記されます。この \phi(\cdot) を使うと、標準じゃない正規分布は、
    f(x)=\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)
    となります。
  • 累積分布関数
    累積分布関数は確率密度関数を積分したもの！としかいいようがありません。
    F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}\exp\left[-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}\right]\text{d}t
    これも標準正規分布の場合には特別な表記が与えられています。
    \Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\phi(t)\text{d}t
    \Phi はギリシャ文字の”ファイ”の大文字です。この \Phi(\cdot)\ を使うと標準じゃない正規分布は、
    F(x)=\Phi\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)
    となります。

その他のトピック

  • 左右対称ということから、この分布の歪度（ゆがみ）は 0
  • 正規分布の尖度（とがり具合）を 0 として、この分布より裾が厚い分布（尖度が正）を “Leptokurtic“な分布、裾が薄い分布（尖度が負）を “Platykurtic“な分布と呼ぶ
  • 多数の分布の極限が正規分布になるということと、多数の不確定要素の積み重ねが正規分布を生み出す（中心極限定理）という事実によって、この分布はどこにでも顔を出す。

分布の形状

基本情報

  • 無限区間 (-\infty,+\infty) で定義された連続分布です。

確率

分位点

  • 累積確率関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\sigma\Phi^{-1}(P)+m
    ここで \Phi(\cdot) は標準正規分布の累積分布関数です。
  • Excel での分位点の求め方
     
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    6
    AB
    データ説明
    0.7 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ M の値
    0.9 分布のパラメータ Sigma の値
    数式説明（計算結果）
    =A4*NORMSINV(A2)+A3 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値
  • NORMSINV は Excel 関数です。

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

  • 分布の平均は m と与えられます。

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

乱数

Excel での乱数生成法
 
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5
   
AB
データ説明
0.5 分布のパラメータ M の値
0.5 分布のパラメータ Sigma の値
数式説明（計算結果）
=A3*NTRANDNORM(100)+A2 100個の正規乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数

  • Mersenne Twiseter 法による乱数生成 : NTRANDNORM

参照

 

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