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ラプラス分布(Laplace distribution)

分布の形状

基本情報

  • 2つのパラメータ \mu, \phi が必要です.
    \phi>0
  • 無限区間 (-\infty,+\infty) で定義された連続分布です。
  • 平均対して常に対称です。

確率

  • 累積分布関数
    F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\exp\left(\frac{x-\mu}{\phi}\right)\;&(x<\mu)\\1-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{x-\mu}{\phi}\right)\;&(x\geq \mu)\end{cases}[/latex]</div> </li> <li><a href="/jp/glossary/#local_probability">確率密度関数</a> <div class="eq">[latex]f(x)=\frac{1}{2\phi}\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{\phi}\right)
  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方
     
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    AB
    データ説明
    0.5 対象となる値
    8 分布のパラメータ Mu の値
    2 分布のパラメータ Phi の値
    =(A2-A3)/A4 Standardized variable z
    数式説明（計算結果）
    =IF(A2<A3,0.5*EXP(A5),1-0.5*EXP(-A5)) 上のデータに対する累積分布関数の値
    =0.5*EXP(-ABS(A5))/A4 上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

  • 累積確率関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\begin{cases}\phi\ln 2P+\mu\;&(P<0.5)\\-(\phi\ln 2(1-P)+\mu)\;&(P\geq 0.5)\end{cases}
  • Excel での分位点の求め方
     
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    AB
    データ説明
    0.7 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ Mu の値
    0.9 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =IF(P<0.5,A4*LN(2*A2)+A3,-(A4*LN(2*(1-A2))+A3)) 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

  • 分布の平均は \mu と与えられます。

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

  • 分布の分散 は次式で与えられます。
    2\phi^2

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法
     
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    AB
    データ説明
    2 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =SQRT(2)*A2 上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

乱数

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :
    x=\begin{cases}\phi\ln 2U+\mu\;&(U<0.5)\\-(\phi\ln 2(1-U)+\mu)\;&(U\geq 0.5)\end{cases}
  • Excel での乱数生成法
     
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    AB
    データ説明
    0.5 分布のパラメータ Mu の値
    0.5 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =IF(NTRAND(100)<0.5,A3*LN(2*NTRAND(100))+A2,-(A3*LN(2*(1-NTRAND(100)))+A2)) 100個のラプラス乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

 

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