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ベータ分布(Beta distribution)NtRand Supported

納期に間に合うか？ベータ分布

工期見積もり

ベータ分布が表舞台に現れる数少ない例が、PERT（Program Evaluation and Review Technique）という工期見積もり手法である。

以下のストーリー性あふれる例を見てみよう。

今回新たなプロジェクトがスタートした。なんとしてでも期限までに完了させたい。
楽観的に考えると1ヵ月後には納品できるという意見もある。 しかし、毎晩布団に潜ると不安が襲って来る。ここはラテンアメリカではないのだ！心配要素は数えればいくらでもある。最悪の場合、納期が遅れて6ヵ月後になる可能性だってあり得る。 プロジェクトメンバーの大半の意見とこれまで実績から、一番可能性のある納期の試算は2ヶ月半と出た。


では納期の期待値はいったいいつと判断すべきなのでしょうか。
PERT では3点見積もりという方法で納期の期待値を算出しています。

納期の期待値 = (楽観値+4×最可能値+悲観値）÷6

この場合では、8.5÷6[ヶ月]。大体1月半くらいになるでしょうか。実はこの算式の正体は、工期の確率分布をベータ分布とした場合の期待値の簡易算式です（簡易式なので実際のベータ分布の期待値とは一致しませんが）。

分布の万能選手

その利用例の少なさとは裏腹に、この分布は実に優れた特徴を持っています。それは、極めてバラエティーに富んだ分布形状を取ることができることなのです。
Beta Distributions

このように様々な形状がとれるので、素性不明の分布があれば、適当にパラメータを調整してフィッティングが出来るでしょう。
さあ、では例を見てみましょう。
1棟あたり100戸、全100棟。総戸数10000戸のマンモス団地で、ある商品を売るために100人の大営業部隊を投入することにしました。1人1棟担当し、全戸を回るローラー作戦を実行です。
この商品がこの団地で売れる確率は、平均的な力量をもった営業マンならば p=0.25 だったとしましょう。つまり、4件に1件は買ってくれるということ。
  • 驚くべきことに営業マンの力量が全員一定の場合。
    この場合1棟（100戸）あたりで売れる商品の数は p=0.25 の成功確率で100回トライする二項分布になるので、x個売れる確率は、
    f(x)=\begin{pmatrix}100\\x\end{pmatrix}(1-0.25)^{100-x}(0.25)^{x}
    となります。
  • やっぱり営業マンの力量が一定でない場合。
    入ったばかりの新人営業マンや、この道一筋のカリスマ営業マンなど、100人もいえば様々な力量を持った営業マンがいるでしょう。すると売れる確率は p=0.25 ではなく、図のような分布になったとします。
    Probability of Succession

    この分布は何分布なのでしょうか？こんなものにはモデルなどありません。そこでベータ分布の登場なのです。ベータ分布のパラメータを上手に調整して、この分布は B(2,8) に従うとしたとしましょう。 この場合、1棟当たりの売上の分布は、
    f(x)=\begin{pmatrix}100\\x\end{pmatrix}(1-p)^{100-x}p^{x}
    という二項分布の式で、成功確率 p 自体がベータ分布に従うという、ベータ二項分布（別名：負の超幾何分布、ポリア=エッゲンベルガー分布）になるのです！

分布の形状

基本情報

確率

分位点

  • 累積分布関数の逆関数は閉じた形式で表記できません。
  • BETAINV は Excel の関数です。
  • Excel での分位点の求め方
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    AB
    データ説明
    0.7 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ Alpha の値
    0.9 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =BETAINV(A2,A3,A4) 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

  • 分布の平均 は次式で与えられます。
    \frac{\alpha}{\alpha+\beta}
  • Excel での計算法
     
    1
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    3
    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTBETAMEAN(A2,A3) 上のデータに対する分布の平均
  • 関連 NtRand 関数 : NTBETAMEAN

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

  • 分布の分散 は次式で与えられます。
    \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法
     
    1
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    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTBETASTDEV(A2,A3) 上のデータに対する分布の標準偏差
  • 関連 NtRand 関数 : NTBETASTDEV

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

  • 分布の歪度 は次式で与えられます。
    \frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
  • Excel での計算法
     
    1
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    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTBETASKEW(A2,A3) 上のデータに対する分布の歪度
  • 関連 NtRand 関数 : NTBETASKEW

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

  • 分布の尖度 は次式で与えられます。
    6\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}{\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)}
  • Excel での計算法
     
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    4
    5
    AB
    データ説明
    8 分布のパラメータ Alpha の値
    2 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTBETAKURT(A2,A3) 上のデータに対する分布の尖度
  • 関連 NtRand 関数 : NTBETAKURT

乱数

  • 乱数生成のアルゴリズムは、

    R. C. H. Cheng, “Generating beta variates with nonintegral shape parameters”, Communication of the ACM, 21(1978), pp 317-322

    に従います。
  • Excel での乱数生成法
     
    1
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    3
    4
    5
       
    AB
    データ説明
    0.5 分布のパラメータ Alpha の値
    0.5 分布のパラメータ Beta の値
    数式説明（計算結果）
    =NTRANDBETA(100,A2,A3,0) 100個のベータ乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

  • 関連 NtRand 関数 : NTRANDBETA

関連 NtRand 関数

参照

 

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