公約数、素数、そしてバーゼル問題

2人が同時に好きな自然数を叫びます。
A:「10」
B:「132」
この2つの数字はどちらも2で割り切れます。難しい言葉で言うと「この2つの数字の公約数は2」ということです(小学校で習うんだったかな)。

ではもう一度
A:「37」
B:「111」
この2つの場合はどうでしょう。すぐに分かりますがこの2つの数字には公約数はありません。難しい言葉でいうと「この2つの数字は互いに素」ということです。

ではここで問題「任意に2つの数字が互いに素である確率は?」

ちょっと実験してみようにもこれはなかなか難しいです。
というのも、任意の自然数ですから、10とか250とかはもちろん
20482093840734198720491209341412987461298402971029347019823740194

93410974246817469817648164815451276453725653666635467341618253600027
みたいのでもいいですし、、、というか、こういう数字も公平に出てこないと実験になりません。

さあ数字を言え!といってこんな数字を挙げられる人はいないでしょう。 じゃあコンピューターで、といっても無限にある自然数をすべて公平に挙げるのは無理でしょう。

しかし人間の知性に限界はありません。この問題を理論的に解きましょう。

例えば、8と16の公約数は2、4、8となりますが、互いに素かどうかを見るには素数の公約数だけみればいいということに注目します。 この例なら4で割れるかどうかを調べはしません。素数2で割れるかを見るだけです。
15と105なら素数3で割れます。 8と105なら素数2、素数3、素数5、素数7…と素数を順に調べてどの素数も共通の公約数になっていない、つまり互いに素だと分かります。

任意の自然数Nが素数pで割れる確率は、{1}/{p}であるというのは分かりますか?
例えば、素数3で割れる数というのは3\;,6,\;9,\;12,\;\cdotsとなります。つまり全自然数の3つに1つが素数3で割れる自然数だということになります。 パッと選んだ自然数が3で割れるかは3つに1つ、つまり確率1/3となります。

同様に素数5で割れる確率は1/5、素数13で割れる確率は1/13、、、素数pで割れる確率は1/pとなります。

従って自然数N_1N_2がどちらも素数pで割れる確率は1/p^2となります。

ということは自然数N_1N_2が素数p公約数に持たない確率1-1/p^2となります。

自然数N_1N_2が互いに素ということはあらゆる素数が公約数でないということなので、その確率は

P=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_i^2}\right)

です。なんとも複雑そうな式ですが、この値は幾らになるでしょうか?

結論だけ言うと、

P=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_i^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}=0.607927\cdots

です。なんとこんなところに円周率が出てきます!

\frac{\pi^2}{6}という部分は「バーゼル問題」という数学の歴史的難問(解決に100年!)に端を発し、数学の最大の未解決問題とされる「リーマン予想」にも関わるネタで、 とてもここでは書ききれません。


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