-σ^2 / 2 の真実に迫る – その1

Mar 19, 2013

先ずは準備運動

元金が $V_0$ 、利率を $r$ （年率）とした場合の単利と複利の場合それぞれで、 $T$ 年後の元利合計を改めて考えてみましょう（何を今更、、、）。

単利の場合

年間に利払いが $N$ 回あるとすると、1回あたりの利率は $r/N$ となったうえで $T$ 年後までには金利が $TN$ 回つくのでの元利合計は、

$V(T)=V_0+V_0\cdot\underbrace{(r/N+r/N+\cdots+r/N)}_{TN \text{times}}=V_0\cdot(1+rT)$ —(1)

うーん文句なし。まったくもってあたりまえだ。

複利の場合

上記と同様に利率は $r/N$ となるので、

$V(T)=V_0\cdot\underbrace{(1+r/N)(1+r/N)\cdots(1+r/N)}_{TN \text{times}}=V_0\cdot(1+r/N)^{TN}$ —(2)

となります。

次に上記の式で $N\rightarrow\infty$ としてみましょう。世にいう連続極限と呼ばれる操作です。これは年間の利払い回数が無限大、つまり無限に短い期間に無限に小さい利率による利払いが発生し、それが無限に積み重なった場合を考えることです。

単利の場合

式(1)の中にNが含まれていないので $N\rightarrow\infty$ としても結果は同じです。

複利の場合

式(2)で $N\rightarrow\infty$ とするとどうなるか、結果だけ書きます（高校数学！）

$V(T)=V_0\cdot\exp(rT)$ —(3)

連続極限で指数関数になります。

と、まぁこんな話はどの金融の教科書にも最初のページに書いてあります。

さて上記のケースは全て金利が一定値 $r$ という場合です。そうではなく、金利が乱数だったらどうなるでしょうか。それが今回の記事で書きたいことです。

その2へ続く、、、

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